Über die lokale Struktur endlicher

Gruppen Ulrich Meierfrankenfeld

Perspektiven in Algebra und Geometrie Erlangen 29 April 2003 Gegeben eine endliche Gruppe G. Wie kann man G identifizieren? Eine Antwort: Anhand der echten Untergruppen. Wie findet man echten Untergruppen? Satz von Sylow: Sei p^{k} eine Primzahlpotenz, die |G| teilt. Dann gibt es eine Untergruppe der Ordung p^{k} in G. Weitere Untergruppen? Sei P eine p-Unterguppe von G und

L = N_{G}(P) = {g ∈ P | g^{−1}P g = P } Dann heißt L eine p-lokale Untergruppe von G.

Beispiel: Sei G = GL_{n}(𝔽), 𝔽 ein endlicher Körper. Außerdem sei t ∈ G eine Involution, d.h. |t| = 2. Dann ist

N_{G}(⟨t⟩) = C_{G}(t) = {g ∈ G | gt = tg}.

Zwei Fälle: char 𝔽 ≠ 2 und char 𝔽 = 2.

1. Fall: char 𝔽 ≠ 2.

Jordansche Normalform von t:

(\begin{matrix}I_{k} & 0 \\ 0 & −I_{m} \end{matrix})

C_{G}(t) = \{(\begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})\}

A ∈ GL_{k}(𝔽), B ∈ GL_{m}(𝔽)

C_{G}(t) ≅ GL_{k}(𝔽) × GL_{m}(𝔽)

2. Fall: char 𝔽 = 2.

Jordansche Normalform von t:

(\begin{matrix}I_{k} & 0 & 0 \\ 0 & I_{m} & 0 \\ I_{k} & O & I_{k} \end{matrix})\}

C_{G}(t) = \{(\begin{matrix}A & 0 & 0 \\ ⋆ & B & 0 \\ ⋆ & ⋆ & A \end{matrix})\}

A ∈ GL_{k}(𝔽), B ∈ GL_{m}(𝔽)

Sei Q = \{(\begin{matrix}I_{k} & 0 & 0 \\ ⋆ & I_{m} & 0 \\ ⋆ & ⋆ & I_{k} \end{matrix})\}

Dann ist Q ein Normalteiler von C_{G}(t), Q ist eine 2-Gruppe und

C_{G}(T)/Q ≅ GL_{k}(𝔽) × GL_{m}(𝔽)

In ersten Fall des vorherigen Beispiels nennt man t halbeinfach, im zweiten Fall unipotent. Gruppentheoretisch läßt sich das wie folgt definieren:

Sei p eine Primzahl und P eine p-Untergruppe von G. Setze L = F^{∗}(C_{G}(P)).

Ist L eine p-Gruppe, so heißt P unipotent in G.

Ist F (L) = Z(L), so heißt P halbeinfach in G.

Inzidenzgeometrien

Sie I eine (endliche) Menge. Eine Inzidenzgeometrie über I besteht aus einer Menge

G,

einer Funktion

τ : G → I

(genannt Typ) und einer symmetrischen Relation

∼

(genannt Inzidenz), so dass zwei Element von gleichen Typ nie inzident sind.

Beispiel:

Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum, G die Menge der echte Unterräume, τ = dim und A ∼ B falls A < B oder B < A. G ist dann also der zu V gehörige projektive Raum P roj(V).

Die unipotente Geometrie

Sei p eine Primzahl, so dass G unipotente p-Untergruppen besitzt. Eine Borelgruppe von G ist der Normalizator einer maximalen unipotenten Untergruppe von G.

Eine Untergruppe L von G heißt parabolisch falls

(i) L = N_{G}(U) für eine unipotente Untergruppe U von G.

(ii) L enthält eine Borelgruppe von G.

Zwei parabolische Untergruppen heißen inzident, falls ihr Durchschnitt wieder parabolisch ist.

Die unipotente Geometrie von G ist die Menge der maximalen parabolischen Untergruppen zusammen mit der obigen Inzidenzrelation.

Beispiel: Sei wieder G = GL_{𝔽}(V), wobei 𝔽 eine endlicher Körper and V ein endlich dimensionaler Vektorraum über V ist.

Sei p = char 𝔽. Jede p-Untergruppe von G ist dann unipotent. Sei U eine unipotente Untergruppe. Dann ist W := C_{V} (U) ≠ 0 und N_{G}(U) ≤ N_{G}(W).

Damit sind die maximalen parabolischen Untergruppen gerade die Normalizatoren der echten Unterräume von V. Zwei maximale Parabolische sind inzident genau dann, wenn die entsprechenden Unteräume ineinander enthalten sind.

Also ist die unipotente Geometrie von GL_{𝔽}(V) genau der zu V gehörige projektive Raum.

Halbeinfache Geometrien

Wir betrachten halbeinfache Geometrien nur am Beispiel GL_{𝔽}(V).

Sei p eine Primzahl, so dass 𝔽 eine p-te Einheitswurzel enthält. Sei t ein Element der Ordnung p in G. Dann ist

V = V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ … ⊕ V_{m}

die direkte Summe der Eigenräume von t und

C_{G}(t) = GL_{𝔽}(V_{1}) × GL_{𝔽}(V_{2}) × … GL_{𝔽}(V_{m}).

Die maximalen Objekte der halbeinfachen Geometrie entsprechen in diesem Beispiel den Paaren (V_{1}, V_{2}) von Unterräumen mit V = V_{1} ⊕ V_{2}. Und (V_{1}, V_{2}) ist inzident mit (W_{1}, W_{2}) falls V_{1} mit W_{1}, und V_{2} mit W_{2} inzident ist.

Ein etwas allgemeineres Beispiel:

Sei G eine Gruppe von Lie-Typ definiert über einen endlichen Körper 𝔽.

1. Sei p = char 𝔽. Dann ist die unipotente Geometrie von G gerade das zu G gehörende Gebäude.

2. Sei p ein Primteiler von |𝔽| − 1. Dann besteht die halbeinfache Geometrie von G aus all den Paaren (a, b), wobei a und b gegenüberliegende Elemente des Gebäudes sind.

Gegeben eine Inzidengeometrie G. Wie kann man G idenifizieren?

Fahne in G: eine Teilmenge F, so dass je zwei verschiedene Elemente von F inzident sind.

τ(F) nennt man den Typ F. Eine Fahne kann hoechstens sowiele Elemente enthalten wie es Typen gibt.

Residium einer Fahne F vom Typ J:

Res_{F} = {a ∈ G \ F | F ∪ {a} ist eine Fahne }.

Res_{F} ist eine Inzidenzgeometrie über I \ J.

Diagramm von F:

(Res_{a} | a ∈ F) (modulo Isomorphismen )

Diagramm von G: Diagramm einer maximalen Fahne (nicht notwendig eindeutig)

Beispiel: projektiver Raum Maximale Fahne: (n + 1 = dim V)

0 < V_{1} < V_{2} < … V_{n} < V. Res_{W} = P roj(W) ∪ P roj(V/W).

Diagramm einer projektiven Ebene:

∘ ∘

Diagramm eines projektiven Raumes:

∘  ∘  ∘⟩⟩ ⋯⟩⟩∘  ∘  ∘

Oft ist eine Geometrie durch ihr Diagramm bestimmt.

Satz: Zwei spherische Gebäude vom Rank mindestens 4 und gleichem Diagramm sind isomorph.

Wie kann man das Diagramm der parabolische Geometrie bestimmen?

Sei B eine Borelgruppe von G.

Definiere

F = {M | B ≤ M, M maximale Parabolische }

Dann ist F eine maximale Fahne der Parabolische Geometrie.

Sei M ∈ F und L eine Parabolische inzident mit L. Dann ist M ∩ L eine Parabolische von M. Damit gilt O_{p}(M) ≤ M ∩ L und M ∩ L/O_{p}(M) ist (im allgemeinen) eine Parabolische von M ∩ L/O_{p}(M). Also

Res_{M}
↔

parabolische Geometrie von M/O_{p}(M)

Also ist Kenntnis des Diagrammes mehr oder weniger äquivalent zur Kenntnis von M/O_{p}(M) für alle maximalen parabolischen Untergruppen M von G.

Kurze Zusammenfassung: Wie kann man eine gegebene endlichen Gruppe identifizieren: Schritt 1: Definiere eine gegeignete Geometrie auf der die Gruppe operiert. Schritt 2: Bestimme das Diagramm der Geometrie. Schritt 3: Identifiziere die Geometrie anhand des Diagrammes.

Schritt 2 wird fast immer rein gruppentheoretisch durchgeführt.

Offene Frage: Gibt es geometrische Methoden, die bei der Bestimmung der Diagramme geeigneter Geometrien der endlichen einfachen Gruppen hilfreich seien könnten?